Question

如图1-1-6，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

图1-1-6

（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）

Answer 1

思路分析：当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到椭圆面积为最小.

解：（1）如图建立坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为=1.

将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=,l=2a=≈33.3.故隧道的拱宽约为33.3米.

（2）由椭圆方程=1,得=1.

因为≥,

即ab≥99,且l=2a,h=b,

所以S=lh=.

当S取最小值时,有=,得a=,b=.

此时l=2a=222≈31.1,h=b≈6.4.

故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.