Question

已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B₀．
（Ⅰ）求B₀的大小；
（Ⅱ）当B=

3B0

4

时，求cosA-cosC的值．

Answer 1

（Ⅰ）由2sinB=sinA+sinC，利用正弦定理化简得：2b=a+c，即b=

a+c

2

，
由余弦定理知cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

（2分）
=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

3(2ac)-2ac

8ac

=

1

2

，（4分）
∵y=cosx在（0，π）上单调递减，
则B的最大值为B₀=

π

3

；（6分）
（Ⅱ）设cosA-cosC=x，①（8分）
∵B=

3B0

4

=

π

4

，
∴sinA+sinC=2sinB=

2

，②
由①²+②²得，2-2cos（A+C）=x²+2．（10分）
又A+C=π-B=

3π

4

，
∴x=±

4	2

，即cosA-cosC=±

4	2

．（12分）