Question

已知椭圆C：的左、右焦点分别是F₁、F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A、B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设。

（1）证明：；

（2）确定的值，使得是等腰三角形。

Answer 1

（1）证法1：因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴y轴的交点，所以A、B的坐标分别是

由得，这里

所以点M的坐标是

由得，

即，解得．

证法2：因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴y轴的交点，所以A、B的坐标分别是

设M的坐标为，由得，

所以，

因为点M在椭圆上，所以，

即，所以，

即，

解得，即

（2）因为，

所以为钝角，

要使为等腰三角形，必有，即

设点到l的距离为d，由

得

所以，于是

即当，为等腰三角形．

考点：直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算

点评：此题考查了直线与椭圆的位置关系，以及平面向量的坐标运算，关键是运算量较大