题目内容
已知AB=4，BC=2的矩形ABCD，沿对角线BD将△BDC折起，使得面BCD⊥面ABD，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为
．
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
分析：由题意可得CE⊥面ABD，AF⊥面 BCD，由等面积可得AF=CE=
，进而可得
•
=2×2×cos＜
，
＞，还可得
•
=
，由此可解得答案．
4
| ||
| 5 |
| AD |
| BC |
| AD |
| BC |
| AD |
| BC |
| 4 |
| 5 |
解答：
解：因为平面BCD⊥平面ABD，作CE⊥BD，AF⊥BD，则 CE⊥面ABD，AF⊥面 BCD，
由等面积可得
×BD×CE=
×CB×CD，即
×2
×CE=
×2×4，
解得CE=
，同理可得AF=CE=
，
故
•
=2×2×cos＜
，
＞，
又
•
=（
+
）•（
+
）=
•
+
•
+
•
+
•
=0+0+
2+0=BC2-CE2=22-(
)2=
，
故可得cos＜
，
＞=
÷2÷2=
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为：
故答案为：
解：因为平面BCD⊥平面ABD，作CE⊥BD，AF⊥BD，则 CE⊥面ABD，AF⊥面 BCD，由等面积可得
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
解得CE=
4
| ||
| 5 |
4
| ||
| 5 |
故
| AD |
| BC |
| AD |
| BC |
又
| AD |
| BC |
| AF |
| FD |
| BE |
| EC |
| AF |
| BE |
| AF |
| EC |
| FD |
| BE |
| FD |
| EC |
=0+0+
| FD |
4
| ||
| 5 |
| 4 |
| 5 |
故可得cos＜
| AD |
| BC |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为：
| 1 |
| 5 |
故答案为：
| 1 |
| 5 |
点评：本题考查异面直线所成的角，转化为向量的夹角是解决问题关键，属中档题．
练习册系列答案
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