Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．
（I）证明：EB∥平面PAD；
（II）若PA=AD=DC，求二面角E-BD-C的余弦值；
（III）在（II）的条件下，侧棱PB上是否存在一点M，使得AM∥平面BDE．若存在，求PM：MB的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）取CD中点F，连接EF、BF，证明EF∥平面PAD，BF∥平面PAD，可得平面EBF∥平面PAD，从而可得EB∥平面PAD；
（II）建立坐标系，求得平面BDC的法向量

n1

=(0，0，1)，平面BDE的法向量

n2

=（-2，-1，1），利用向量的夹角公式，可得结论；
（III）假设侧棱PB上存在一点M，使得AM∥平面BDE，令PM=λMB，利用面BDE的法向量为

n2

=（-2，-1，1），

AM

•

n2

=0，建立方程，求得λ的值，即可得到结论．

解答：（I）证明：取CD中点F，连接EF、BF，
∵E为PC的中点，∴EF∥PD
∵EF?平面PAD，PD?平面PAD
∴EF∥平面PAD
∵BF∥AD，BF?平面PAD，AD?平面PAD
∴BF∥平面PAD
∵EF∩BF=F
∴平面EBF∥平面PAD
∵EB?平面EBF
∴EB∥平面PAD；
（II）解：建立如图所示的坐标系，

不妨设OB=1，则PA=AD=DC=2
∴B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），
∴

BE

=(0，1，1)，

BD

=(-1，2，0)
取平面BDC的法向量

n1

=(0，0，1)，设平面BDE的法向量为

n2

=（x，y，1），则

y=-1 -x+2y=0

∴x=-2，∴

n2

=（-2，-1，1）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

6

6

；
（III）解：假设侧棱PB上存在一点M，使得AM∥平面BDE，令PM=λMB，则M（

λ

1+λ

，0，

2

1+λ

）
∴

AM

=（

λ

1+λ

，0，

2

1+λ

）
∵面BDE的法向量为

n2

=（-2，-1，1）
∴

AM

•

n2

=0
∴

-2λ

1+λ

+

2

1+λ

=0
∴λ=1
∴PM：MB=1时，AM∥平面BDE

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查存在性问题，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．