题目内容
已知函数f（x）=x|x-a|-lnx．
（1）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]的最大值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
（1）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]的最大值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
分析：（1）当a=1时，利用导数可判断f（x）在[1，e]上的单调性，由单调性即可求得其最大值；
（2）求出f（x）的定义域，先按（ⅰ）a≤0，（ⅱ）a＞0两种情况进行讨论，其中a＞0时讨论去绝对值符号，利用导数符号即可判断单调性；
（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），f（x）＞0，即|x-a|＞
．根据
的符号对x进行分类讨论：x∈（0，1）时，当x=1时，当x＞1时，其中x＞1时去掉绝对值符号转化为求函数最值即可解决．
（2）求出f（x）的定义域，先按（ⅰ）a≤0，（ⅱ）a＞0两种情况进行讨论，其中a＞0时讨论去绝对值符号，利用导数符号即可判断单调性；
（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），f（x）＞0，即|x-a|＞
| lnx |
| x |
| lnx |
| x |
解答：解：（1）若a=1，则f（x）=x|x-1|-lnx．
当x∈[1，e]时，f（x）=x2-x-lnx，
f′(x)=2x-1-
=
＞0，
所以f（x）在[1，e]上单调增，
∴f(x)max=f(e)=e2-e-1．
（2）由于f（x）=x|x-a|-lnx，x∈（0，+∞）．
（ⅰ）当a≤0时，则f（x）=x2-ax-lnx，
f′(x)=2x-a-
=
，
令f′（x）=0，得x0=
＞0（负根舍去），
且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在(0，
)上单调递减，在(
，+∞)上单调递增．
（ⅱ）当a＞0时，
①当x≥a时，f′(x)=2x-a-
=
，
令f′（x）=0，得x1=
（x=
＜a舍），
若
≤a，即a≥1，则f′（x）≥0，
所以f（x）在（a，+∞）上单调增；
若
＞a，即0＜a＜1，则当x∈（0，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间(0，
)上是单调减，在(
，+∞)上单调增．
②当0＜x＜a时，f′(x)=-2x+a-
=
，
令f′（x）=0，得-2x2+ax-1=0，记△=a2-8，
若△=a2-8≤0，即0＜a≤2
，则f′（x）≤0，
故f（x）在（0，a）上单调减；
若△=a2-8＞0，即a＞2
，
则由f′（x）=0得x3=
，x4=
，且0＜x3＜x4＜a，
当x∈（0，x3）时，f′（x）＜0；当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0；当x∈（x4，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间(0，
)上是单调减，在(
，
)上单调增；在(
，+∞)上单调减．
综上所述，当a＜1时，f（x）的单调递减区间是(0，
)，单调递增区间是(
，+∞)；
当1≤a≤2
时，f（x）单调递减区间是（0，a），单调的递增区间是（a，+∞）；
当a＞2
时，f（x）单调递减区间是（0，
）和(
，a)，单调的递增区间是(
，
)和（a，+∞）．
（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞）．
由f（x）＞0，得|x-a|＞
．*
（ⅰ）当x∈（0，1）时，|x-a|≥0，
＜0，不等式*恒成立，所以a∈R；
（ⅱ）当x=1时，|1-a|≥0，
=0，所以a≠1；
（ⅲ）当x＞1时，不等式*恒成立等价于a＜x-
恒成立或a＞x+
恒成立．
令h(x)=x-
，则h′(x)=
．
因为x＞1，所以h'（x）＞0，从而h（x）＞1．
因为a＜x-
恒成立等价于a＜（h（x））min，所以a≤1．
令g(x)=x+
，则g′(x)=
．
再令e（x）=x2+1-lnx，则e′(x)=2x-
＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上无最大值．
综上所述，满足条件的a的取值范围是（-∞，1）．
当x∈[1，e]时，f（x）=x2-x-lnx，
f′(x)=2x-1-
| 1 |
| x |
| 2x2-x-1 |
| x |
所以f（x）在[1，e]上单调增，
∴f(x)max=f(e)=e2-e-1．
（2）由于f（x）=x|x-a|-lnx，x∈（0，+∞）．
（ⅰ）当a≤0时，则f（x）=x2-ax-lnx，
f′(x)=2x-a-
| 1 |
| x |
| 2x2-ax-1 |
| x |
令f′（x）=0，得x0=
a+
| ||
| 4 |
且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在(0，
a+
| ||
| 4 |
a+
| ||
| 4 |
（ⅱ）当a＞0时，
①当x≥a时，f′(x)=2x-a-
| 1 |
| x |
| 2x2-ax-1 |
| x |
令f′（x）=0，得x1=
a+
| ||
| 4 |
a-
| ||
| 4 |
若
a+
| ||
| 4 |
所以f（x）在（a，+∞）上单调增；
若
a+
| ||
| 4 |
所以f（x）在区间(0，
a+
| ||
| 4 |
a+
| ||
| 4 |
②当0＜x＜a时，f′(x)=-2x+a-
| 1 |
| x |
| -2x2+ax-1 |
| x |
令f′（x）=0，得-2x2+ax-1=0，记△=a2-8，
若△=a2-8≤0，即0＜a≤2
| 2 |
故f（x）在（0，a）上单调减；
若△=a2-8＞0，即a＞2
| 2 |
则由f′（x）=0得x3=
a-
| ||
| 4 |
a+
| ||
| 4 |
当x∈（0，x3）时，f′（x）＜0；当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0；当x∈（x4，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间(0，
a-
| ||
| 4 |
a-
| ||
| 4 |
a+
| ||
| 4 |
a+
| ||
| 4 |
综上所述，当a＜1时，f（x）的单调递减区间是(0，
a+
| ||
| 4 |
a+
| ||
| 4 |
当1≤a≤2
| 2 |
当a＞2
| 2 |
a-
| ||
| 4 |
a+
| ||
| 4 |
a-
| ||
| 4 |
a+
| ||
| 4 |
（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞）．
由f（x）＞0，得|x-a|＞
| lnx |
| x |
（ⅰ）当x∈（0，1）时，|x-a|≥0，
| lnx |
| x |
（ⅱ）当x=1时，|1-a|≥0，
| lnx |
| x |
（ⅲ）当x＞1时，不等式*恒成立等价于a＜x-
| lnx |
| x |
| lnx |
| x |
令h(x)=x-
| lnx |
| x |
| x2-1+lnx |
| x2 |
因为x＞1，所以h'（x）＞0，从而h（x）＞1．
因为a＜x-
| lnx |
| x |
令g(x)=x+
| lnx |
| x |
| x2+1-lnx |
| x2 |
再令e（x）=x2+1-lnx，则e′(x)=2x-
| 1 |
| x |
综上所述，满足条件的a的取值范围是（-∞，1）．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|