题目内容

3．己知四面体A-BCD中，BC=CD=BD=4$\sqrt{2}$，AB=AC=4$\sqrt{5}$，AD=6，求四面体A-BCD的外接球半径．

分析 由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，利用球的半径建立方程，即可求出四面体A-BCD的外接球半径．

解答 解：画出几何体的图形，作CO⊥AD，连接BO，则BO⊥AD，
∴AO⊥平面BOC，
取BC的中点E，则OE⊥BC，球的球心在OE连线上，
设OA=x，则（4$\sqrt{5}$）2-x2=（4$\sqrt{2}$）2-（6-x）2，
∴x=7，CO=$\sqrt{31}$，
∴OE=$\sqrt{23}$
设球心为G，设球的半径为R，GE=x，则R2=8+x2=1+（$\sqrt{23}$-x）2，
∴x=$\frac{8}{\sqrt{23}}$，R=$\frac{2\sqrt{1426}}{23}$．

点评 考查四面体的外接球的半径的求法，考查空间想象能力，能够判断球心的位置是本题解答的关键，考查计算能力，转化思想．

练习册系列答案
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13．一个完整的程序框图至少包含（　　）
A．终端框和输入、输出框B．终端框和处理框
C．终端框和判断框D．终端框、处理框和输入、输出框
14．先后任意地抛一枚质地均匀的正方体骰子两次，所得点分别记为a和b，则函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}$ax2+bx存在极值的概率为（　　）
A．$\frac{13}{36}$B．$\frac{17}{36}$C．$\frac{19}{36}$D．$\frac{23}{36}$
11．设函数f（x）=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{x}$（x＞0），数列{an}满足a1=1，an=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），n∈N*，且n≥2
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对n∈N*，设Sn=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，若Sn≥$\frac{3t}{4n}$恒成立，求实数t的取值范围．
18．已知三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，△ABC是边长为2等边三角形，侧棱与底面所成夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则该三棱锥外接球的表面积为6π．
8．已知数列{an}是等比数列．
（1）设a1=1，a4=8．
①若$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$=M（$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$），n∈N*，求实数M的值；
②若在$\frac{1}{{a}_{1}}$与$\frac{1}{{a}_{4}}$中插入k个数b1，b2，…，bk，使$\frac{1}{{a}_{1}}$，b1，b2，…，bk，$\frac{1}{{a}_{4}}$，$\frac{1}{{a}_{5}}$成等差数列，求这k个数的和Sk；
（2）若一个数列{cn}的所有项都是另一个数列{dn}中的项，则称{cn}是{dn}的子数列，已知数列{bn}是公差不为0的等差数列，b1=a1，b2=a2，bm=a3，其中m是某个正整数，且m≥3，求证：数列{an}是{bn}的子数列．
15．在?ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，2|$\overrightarrow{AB}$|2+|$\overrightarrow{BD}$|2=4，则三棱锥A-BCD的外接球的半径为（　　）
A．1B．$\frac{\sqrt{2}}{2}$C．$\frac{\sqrt{2}}{4}$D．$\frac{1}{4}$
12．已知数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$，an+1=λan2+an．
（1）若λ=$\frac{1}{{n（{n+1}）}}$，求证：an＜1；
（2）若λ=n，求证：$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_2}+1}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}+1}}$＜2．
13．设x和y为正数，已知$\sqrt{x}-\sqrt{y}$=10，证明x-2y≤200．

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