Question

【题目】设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（ ）
A.[1﹣ ，1+ ]
B.（﹣∞，1﹣ ]∪[1+ ，+∞）
C.[2﹣2 ，2+2 ]
D.（﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1， ∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d= =1，
整理得：m+n+1=mn≤ ，
设m+n=x，则有x+1≤ ，即x2﹣4x﹣4≥0，
∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2 ，x2=2﹣2 ，
∴不等式变形得：（x﹣2﹣2 ）（x﹣2+2 ）≥0，
解得：x≥2+2 或x≤2﹣2 ，
则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）．
故选D
由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．