Question

【题目】已知函数f（x）=loga （0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b= ．

Answer 1

【答案】 +1
【解析】解：∵函数f（x）=loga （0＜a＜1）为奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

即f（﹣x）+f（x）=0，

∴loga +loga =loga =0，

即 =1，

∴4﹣x2=b2﹣x2，

即b2=4，解得b=±2，

当b=﹣2时，函数f（x）=loga =f（x）=loga（﹣1）无意义，舍去．

当b=2时，函数f（x）=loga 为奇函数，满足条件．

∵ =﹣1+ ，在（﹣2，+∞）上单调递减．

又0＜a＜1，

∴函数f（x）=loga 在x∈（﹣2，2a）上单调递增，

∵当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），

∴f（2a）=1，

即f（2a）=loga =1，

∴ =a，

即1﹣a=a+a2，

∴a2+2a﹣1=0，

解得a=﹣1± ，

∵0＜a＜1，

∴a= ﹣1，

∴a+b= ﹣1+2= +1，

所以答案是： +1．

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)．