题目内容
已知抛物线
，点
，过
的直线
交抛物线
于
两点.
（1）若线段
中点的横坐标等于
，求直线
的斜率；
（2）设点
关于
轴的对称点为
，求证：直线
过定点.
（1）
;（2）
【解析】
试题分析：（1）因为点M在抛物线外面，所以过M与抛物线相交的直线斜率存在，用点斜式假设直线方程并联立抛物线方程，消去y，即可得一个关于x的一元二次方程，由韦达定理及已知中点的横坐标，即可求出斜率的值.
（2）由点A,B的横坐标满足（1）式中的一元二次方程，由韦达定理可得根与系数的等式，再写出直线
的方程，利用点差法将点A,B的坐标带入抛物线方程.即可求出直线过定点，要做点是否存在的判定.
试题解析：（1）设过点
的直线方程为
，
由 
得
因为 
，且
，
所以，
.
设
，
，则
，
.
因为线段
中点的横坐标等于
，所以
，
解得，符合题意.
（2）依题意
，直线
，
又 
，
，
所以 
因为 
， 且
同号，所以
，
所以 
，
所以，直线
恒过定点.
考点：1.直线与抛物线的位置关系.2.解方程的能力.3.恒过定点的问题.4.直线方程的表示.
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