Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c．
（1）若函数f（x）在区间[-1，0]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值；
（2）若函数f（x）的三个零点分别为

I-t

，

I+t

(0＜t＜I)，求证：a²=2b+3．

Answer 1

分析：（1）由函数在区间[-1，0]上是单调递减，得到导函数小于等于0恒成立即f′（-1）≤0且f′（0）≤0代入得到一个不等式组，可以把而a²+b²可视为平面区域

3-2a+b≤0 b≤0

内的点到原点的距离的平方，则由点到直线的距离公式求出即可得到最小值；
（2）f（1）=0得到a、b、c的关系式，利用关系式化简f（x），因为函数f（x）的三个零点分别为

I-t

，

I+t

(0＜t＜I)，所以方程的两根为

I-t

，

I+t

(0＜t＜I)，利用根与系数的关系化简可得证．

解答：解：（1）依题意，f′（x）=3x²+2ax+b≤0，在[-1，0]上恒成立．
只需要

f′(-1)≤0 f′(0)≤0

即可，也即

3-2a+b≤0 b≤0

，而a²+b²可视为平面区域

3-2a+b≤0 b≤0

内的点到原点的距离的平方，由点到直线的距离公式d²=(

|3|

5

)2=

9

5

，
∴a²+b²的最小值为

9

5

．
（2）由f（1）=0，得c=-a-b-1，
∴f（x）=x³+ax²+bx+c=x³+ax²+bx-（a+b+1）=（x-1）[x²+（a+1）x+（a+b+1）]
因为函数f（x）的三个零点分别为

I-t

，

I+t

(0＜t＜I)，
∴方程x²+（a+1）x+（a+b+1）=0的两根是

1-t

，

1+t

，
∴

1-t

+

1+t

=-（a+1），

1-t

•

1+t

=a+b+1．
(

1-t

+

1+t

) 2=（a+1）²即1-t+2

1-t

•

1+t

+1+t=（a+1）²
∴2+2（a+b+1）=（a+1）²
∴a²=2b+3

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，理解函数零点的意义，理解二元一次不等式组与平面区域的关系．