Question

7．已知抛物C的标准方程为y²=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为$\frac{9}{2}$．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）记t=$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为$\frac{9}{2}$．可得S_△MON=$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}$×2p=$\frac{{p}^{2}}{2}$=$\frac{9}{2}$，解得p即可．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN的方程为：x=my+a，与抛物线方程联立可得y²-6my-6a=0，得到根与系数的关系．由对称性，不妨设m＞0，（i）a＜0时，可知y₁，y₂同号．又t=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}|}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}|{y}_{2}|}}$，得到t²=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（1-\frac{1}{1+{m}^{2}}）$，可得不论a取何值，t值与M点位置有关．
（ii）a＞0时，由于y₁，y₂异号．又t=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}|}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}|{y}_{2}|}}$，可得t²=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$•\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（1+\frac{\frac{2}{3}a-1}{1+{m}^{2}}）$，可得仅当$\frac{2}{3}a$-1=0时，即a=$\frac{3}{2}$时，t与m无关，此时A即为一个“稳定点”．

解答 解：（I）∵当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为$\frac{9}{2}$．
∴S_△MON=$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}$×2p=$\frac{{p}^{2}}{2}$=$\frac{9}{2}$，解得p=3．
∴抛物线C的标准方程为y²=6x．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN的方程为：x=my+a，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+a}\\{{y}^{2}=6x}\end{array}\right.$．化为y²-6my-6a=0，
△＞0，
y₁+y₂=6m，y₁y₂=-6a．
由对称性，不妨设m＞0．
（i）a＜0时，∵y₁y₂=-6a＞0，∴y₁，y₂同号．
又t=$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}|}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}|{y}_{2}|}}$，
∴t²=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$•\frac{36{m}^{2}}{36{a}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（1-\frac{1}{1+{m}^{2}}）$，
不论a取何值，t值与M点位置有关，即此时的点A不为“稳定点”．
（ii）a＞0时，∵y₁y₂=-6a＜0，∴y₁，y₂异号．
又t=$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}|}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}|{y}_{2}|}}$，
∴t²=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$•\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{m}^{2}}•\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$•$\frac{36{m}^{2}+24a}{36{a}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（1+\frac{\frac{2}{3}a-1}{1+{m}^{2}}）$，
∴仅当$\frac{2}{3}a$-1=0时，即a=$\frac{3}{2}$时，t与m无关，此时A即为抛物线的焦点，
因此抛物线对称轴上仅有焦点一个“稳定点”．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．