Question

【题目】选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，正数满足，证明： .

Answer 1

【答案】(1) 当时，在区间上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减.

(2)证明见解析.

【解析】分析：（1）分析单调性首先确定定义域，然后求导得，再确定分子的符号即可得出单调性，此时二次函数的对称轴未知所以可结合二次函数图形进行分析讨论；（2）因为当时，，由（1）可知在区间上单调递增.又易知，且，不妨设，要证，只需证，只需证，即证，即证.构造函数，.分析函数单调性求出最值即可.

详解：

（1）解：的定义域为，

，

令，.

①当时，，

所以对恒成立，则在区间上单调递增.

②当或时，，令，得，.

（i）当时，，

所以对恒成立，则在区间上单调递增.

（ii）当时，.

若，，函数单调递增；

若，，函数单调递减；

若，，函数单调递增.

综上所述：当时，在区间上单调递增.当时，在和上单调递增；在上单调递减.

（2）证明：当时，，由（1）可知在区间上单调递增.

又易知，且，不妨设，

要证，只需证，

只需证，即证，

即证.

构造函数，.

所以 ，，

.

当时，，所以函数在区间上单调递增，

则.

所以得证，从而.