Question

已知a₁=1，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+4x+2的图象上，其中n=1，2，3，4，…
（1）证明：数列{lg（a_n+2）}是等比数列；
（2）设数列{a_n+2}的前n项积为T_n，求T_n及数列{a_n}的通项公式；
（3）已知b_n是与的等差中项，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）点（a_n，a_n+1）代入函数关系式整理可得a_n+1+2=（a_n+2）²，两边取对数求得lg（a_n+1+2）=2lg（a_n+2）
判断出{lg（a_n+2）}是等比数列．
（2）根据数列{lg（a_n+2）}的通项公式求得a_n，进而利用等比数列的求和公式求得lgT_n，进而求得T_n．
（3）根据题意知整理求得b_n=＞进而可判断出S_n≥S₁同时利用＜进而证明原式．
解答：（1）证明：由已知a_n+1=a_n²+4a_n+2，
∴a_n+1+2=（a_n+2）²
∵a₁=1⇒a_n+2＞1，两边取对数，得lg（a_n+1+2）=2lg（a_n+2）
∴{lg（a_n+2）}是等比数列，公比为2，首项为lg（a₁+2）=lg3
（2）解：由（1）得，
∴，
∵lgT_n=lg[（a₁+2）（a₂+2）（a_n+2）]=lg（a₁+2）+lg（a₂+2）+…+lg（a_n+2）=
∴
（3）解：
∵
==
显然b_n＞0，
∴，
又，
∴．
点评：本题主要考查了等比数列的性质，不等式的应用，数列的求和等问题．考查了学生推理能力和运算能力．