题目内容

（1）设f（x）= $数学公式$ ；
（2）f（x）为多项式，且 $数学公式$ $数学公式$ =1， $数学公式$ $数学公式$ =5，求f（x）的表达式．

解：（1） $\text{[math]}$ f（x）= $\text{[math]}$ （2x+b）=b， $\text{[math]}$ f（x）= $\text{[math]}$ （1+2^x）=2，
当且仅当b=2时， $\text{[math]}$ f（x）= $\text{[math]}$ f（x），故b=2时，原极限存在．
（2）由于f（x）是多项式，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =1，
∴可设f（x）=4x³+x²+ax+b（a、b为待定系数）．
又∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =5，即 $\text{[math]}$ （4x²+x+a+ $\text{[math]}$ ）=5，
∴a=5，b=0，即f（x）=4x³+x²+5x．
分析：（1）先求出 $\text{[math]}$ f（x）= $\text{[math]}$ （2x+b）=b， $\text{[math]}$ f（x）= $\text{[math]}$ （1+2^x）=2，再由 $\text{[math]}$ f（x）= $\text{[math]}$ f（x），确定b的值．
（2）由于f（x）是多项式，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =1，可设f（x）=4x³+x²+ax+b，再由 $\text{[math]}$ （4x²+x+a+ $\text{[math]}$ ）=5，确定f（x）的表达式．
点评：（1）函数在某点处有极限，与其在该点处是否连续不同．
（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值，也就是对初等函数而言，求极限就是求函数值，使极限运算大大简化．