Question

【题目】已知定义在R上的函数是奇函数,函数的定义域为.

（1）求的值；

（2）若在上单调递减，根据单调性的定义求实数的取值范围；

（3）在(2)的条件下，若函数在区间上有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）根据单调性的定义判断m的范围即可；（3）根据根域系数的关系，通过讨论△的符号，求出m的范围即可

试题解析：（1）函数 是奇函数

∴.

∴得.

（2） ∵在上单调递减 ，

∴ 任给实数，当时，

∴

∴

（3）由（1）得，令，即.

化简得.

或.

若是方程的根, 则,

此时方程的另一根为, 符合题意.

若不是方程的根,

则函数在区间上有且仅有两个不同的零点等价于方程

(※)在区间上有且仅有一个非零的实根.

①当时, 得.

若, 则方程(※)的根为,符合题意;

若, 则与（2）条件下矛盾,不符合题意.

.

①当时，令

由得

解得

综上所述, 所求实数的取值范围是.