题目内容
已知函数f（x）=x+4
+4 （x≥0），数列{an}满足：a1=1，an+1=f（an），（n∈N*），数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比为
的等比数列．
（1）求证：数列{
}为等差数列； （2）若cn=
•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
| x |
| 1 |
| 3 |
（1）求证：数列{
| an |
| an |
分析：（1）由函数f（x）的解析式及已知条件可得
-
=2（n∈N*），从而得到数列{
}是以
=1为首项，公差为2的等差数列．
（2）由（Ⅰ）得an=（2n-1）2，由条件求得 bn=
(1-
)，cn=
•bn=（2n-1）•
(1-
)，化简Sn为
[1+3+5+…+（2n-1）-（
+
+
+…+
）]．令Tn=
+
+
+…+
，用错位相减法求得Tn的值，即可求得Sn的值．
| an+1 |
| an |
| an |
| a1 |
（2）由（Ⅰ）得an=（2n-1）2，由条件求得 bn=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3n |
| an |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3n |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 32 |
| 5 |
| 33 |
| 2n-1 |
| 3n |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 32 |
| 5 |
| 33 |
| 2n-1 |
| 3n |
解答：解：（1）∵函数f（x）=x+4
+4=(
+2)2 （x≥0），
∴an+1=f（an）=(
+2)2，即
-
=2 （n∈N*）．
∴数列{
}是以
=1为首项，公差为2的等差数列．…（4分）
（2）由（Ⅰ）得：
=1+（n-1）2=2n-1，即 an=（2n-1）2 （n∈N*）．…（5分）
b1=1，当n≥2时，bn-bn-1=(
)n-1，∴bn=b1+（ b2-b1）+（ b3-b2）+（b4-b3）+…+（bn-bn-1）
=1+
+(
)2+…+(
)n-1=
(1-
)，因而 bn=
(1-
)，n∈N*．…（7分）
∴cn=
•bn=（2n-1）•
(1-
)，∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=
[1+3+5+…+（2n-1）-（
+
+
+…+
）]．
令Tn=
+
+
+…+
①，则
Tn=
+
+
+…+
+
②…（9分）
①-②，得
Tn=
+2（
+
+
+…+
）-
=
+
（1-
）-
，…（10分）
∴Tn=1-
．
又 1+3+5+…+（2n-1）=n2．…（11分）
∴Sn=
（n2-1+
）．…（12分）
| x |
| x |
∴an+1=f（an）=(
| an |
| an+1 |
| an |
∴数列{
| an |
| a1 |
（2）由（Ⅰ）得：
| an |
b1=1，当n≥2时，bn-bn-1=(
| 1 |
| 3 |
=1+
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3n |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3n |
∴cn=
| an |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3n |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 32 |
| 5 |
| 33 |
| 2n-1 |
| 3n |
令Tn=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 32 |
| 5 |
| 33 |
| 2n-1 |
| 3n |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 3 |
| 33 |
| 5 |
| 34 |
| 2n-3 |
| 3n |
| 2n-1 |
| 3n+1 |
①-②，得
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 33 |
| 1 |
| 34 |
| 1 |
| 3n |
| 2n-1 |
| 3n+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3n-1 |
| 2n-1 |
| 3n+1 |
∴Tn=1-
| n+1 |
| 3n |
又 1+3+5+…+（2n-1）=n2．…（11分）
∴Sn=
| 3 |
| 2 |
| n+1 |
| 3n |
点评：本题主要考查等差关系的确定，等差数列的通项公式以及前n项和公式，等比数列的通项公式以及前n项和公式，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．
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| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
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|