Question

已知数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N）
（Ⅰ）求数列{+（-1）ⁿ}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知计算整理得出+（-1）ⁿ=2•（-1）ⁿ-=-2[+（-1）^n-1]，可以判定出数列{+（-1）ⁿ}是以-2为公比的等比数列，再求出首项后，可求出通项公式．
（2）由（1）可得=3•（-2）^n-1-（-1）n=（-1）^n-1（3•2^n-1+1），b_n==9•4 ^n-1+6•2 ^n-1+1．
 利用分组、等比数列前n项和公式计算．
解答：解：（1）∵a_n=（n≥2，n∈N），
∴=（-1）ⁿ-，
∴+（-1）ⁿ=2•（-1）ⁿ-=-2[+（-1）^n-1]
∴数列{+（-1）ⁿ}是以-2为公比的等比数列，且首项-1=3．
通项公式+（-1）ⁿ=3•（-2）^n-1，
（2）由（1）得=3•（-2）^n-1-（-1）n=（-1）^n-1（3•2^n-1+1）
b_n==9•4 ^n-1+6•2 ^n-1+1．
数列{b_n}的前n项和S_n=9（1+4+4²+…+4 ^n-1）+6•（1+2+2 ²+…2 ^n-1）+n
=9•+6•+n=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．
点评：本题考查等比数列的判定、通项公式、前n项和公式． 分组、公式法数列求和．考查变形构造、计算能力．