Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，，分别是线段上的点，且，平面，侧面底面．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：本题要证明线面平行以及求二面角，考虑到条件，侧面底面．，因此取中点，有，这样取中点后，易知两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，（1）只要求得平面的法向量，然后证明与法向量垂直（数量积为0）即可证明线面平行；（2）再求得的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值（注意判断二面角是锐角还是钝角，本题是钝角）．

试题解析：设为中点，为中点，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则

设，即，从而

显然，，

，则要使平面，则且，

即，故，从而点的坐标为，即为中点．

（1）设平面的法向量，由于，，

由于，则，从而，

取

由于，从而，从而，

又平面，从而平面

（2）设平面的法向量，由于，

由于，则，从而，

取

又平面的法向量

设二面角的平面角的大小为

则

综上所述，二面角的余弦值为．