Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，g（x）=2x+b，对任意的x∈R，恒有g（x）≤f（x）．
（1）证明：c≥1；
（2）若b＞0，不等式m（c²-b²）≥f（c）-f（b）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）证明，由已知，对任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，即x²+（b-2）x+（c-b）≥0恒成立，
所以△=（b-2）²-4（c-b）≤0，c≥

b2+4

4

≥1
（2）c≥

b2+4

4

≥2

b2 4 ×1

=b，
①当c=b时，c²-b²=0，f（c）-f（b）=0，m∈R
②当c＞b时，有m≥

f(c)-f(b)=

c2-b2

=

c2-b2+bc-b2

c2-b2

=

c+2b

b+c

，令t=

b

c

，则0＜t＜1

c+2b

b+c

=

1+2• b c

b c +1

=

1+2t

t+1

=2-

1

1+t

，而函数h（t）=2-

1

1+t

（0＜t＜1）是增函数，
所以函数h（t）的值域为（1，

3

2

），则m的取值范围是[

3

2

，+∞）
综上所述，m的取值范围是[

3

2

，+∞）．