Question

在△ABC中，已知cosA=

1

7

，cos（A-B）=

13

14

，0＜B＜A＜

π

2

．
（1）求tan2A的值；       
（2）求角B．

Answer 1

分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求出tanA=4

3

，再利用二倍角的正切公式求出 tan2A 的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求出 sinA，再根据A-B的范围求出 cos（A-B） 和 sin（A-B）的值，由 cosB=cos[A-（A-B）]，利用两角和差的余弦公式求得结果．

解答：解：（1）∵cosA=

1

7

且 A∈（0，

π

2

），∴tanA=4

3

． 
故 tan2A=

2tanA

1- tan2A

=

-8 3

47

．
（2）∵A∈（0，

π

2

），cosA=

1

7

，∴sinA=

4 3

7

．   
 又 B＜A＜

π

2

，∴0＜A-B＜

π

2

，∵cos（A-B）=

13

14

，∴sin（A-B）=

3

14

3

．
∴cosB=cos[A-（A-B）]=cosAcos（A-B）+sinAsin（A-B）=

1

2

．
∵B∈（0，

π

2

），
∴B=

π

3

．

点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，二倍角的正切公式的应用，属于中档题．