Question

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求证：BD⊥EG；
（Ⅲ） 求二面角C-DF-E的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG．
（Ⅱ） 过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．
（Ⅲ）分别以 EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得

EB

=(2，0，0)是平面EFDA的法向量．
求出平面DCF的法向量为n=（x，y，z），则由cosθ=cos＜n，

EB

＞求得 二面角C-DF-E的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．  又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴AD

∥ .

.

BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG．
（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，
∴AE⊥平面BCFE． 过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG． 又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，∴EG⊥平面BHD．
∵BD?平面BHD，∴BD⊥EG．
（Ⅲ）分别以 EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得

EB

=(2，0，0)
是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵

FD

=(0，-1，2)，

FC

=(2，1，0)，
∴

FD • n =0 FC • n =0

，即

-y+2z=0 2x+y=0

，令z=1，得n=（-1，2，1）． 设二面角C-DF-E的大小为θ，
则cosθ=cos＜n，

EB

＞=

-2

2 6

=-

6

6

，∴二面角C-DF-E的余弦值为-

6

6

．

点评：本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，用向量法求二面角C-DF-E的余弦值，是解题的难点．