Question

等轴双曲线的两个顶点分别为A₁、A₂，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点，求证：

（1）∠MA₁N+∠MA₂N=180°；

（２）MA₁⊥A₂N，MA₂⊥A₁N.

Answer 1

证明：（1）不妨设等轴双曲线的方程为=1,?

设直线MN的方程为x=b（b＞a）.?

如下图，易求得

N（b,）,?

∴tan∠NA₁x=,

tan∠NA₂x=.?

∴tan∠NA₁x==cot∠NA₂x=tan（-∠NA₂x）.

又∠NA₁x、∠NA₂x均为锐角，?

∴∠NA₁x=90°-∠NA₂x,?

即∠NA₁x+?∠NA₂x=90°.?

根据对称性，?

∴∠NA₁M+∠NA₂M=180°.?

（2）仿（1）可求得M（b,-），?

∴k·k==-1，

∴MA₁⊥A₂N.同理可证MA₂⊥A₁N.