Question

若函数f（x）=lnx-ax²+（a-2）x在x=1处取得极值．
（1）求a的值，并写出函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=x²-2x-1，证明当x＞1时，f（x）＜g（x）．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）的定义域，求出导函数，根据题意可知x=1是f′（x）=0的根，从而求出a的值，进而求得f（x）的解析式，令f′（x）＞0和f′（x）＜0，分别求解，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），求出F′（x），利用导数判断F（x）在（1，+∞）上的单调性，从而确定出F（x）＜F（1）=0，即可证得结论．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx-ax²+（a-2）x，
∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，
∴f′(x)=

1

x

-2ax+a-2，
又∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f'（1）=1-2a+a-2=0，
∴a=-1，
∴f（x）=lnx+x²-3x，
∴f′(x)=

1

x

+2x-3，
令f′（x）＞0，即2x²-3x+1＞0，解得0＜x＜

1

2

或x＞1，
令令f′（x）＜0，即2x²-3x+1＜0，解得

1

2

＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间为(0，

1

2

)和（1，+∞），单调递减区间为(

1

2

，1)；
（2）∵f（x）=lnx+x²-3x，g（x）=x²-2x-1，
令F（x）=f（x）-g（x）=（lnx+x²-3x）-（x²-2x-1）=lnx-x+1，
∴F′(x)=

1

x

-1，
∵当x＞1时，F'（x）＜0，
∴函数F（x）=lnx-x+1在（1，+∞）上单调递减，
又∵F（1）=ln1-1+1=0，
∴当x＞1时，F（x）=lnx-x+1＜F（1），即F（x）＜0，
∴f（x）-g（x）＜0，
∴f（x）＜g（x），
∴当x＞1时，f（x）＜g（x）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于中档题．