题目内容

设二次函数f（x）=ax²-2x-2a（a为实常数）
（1）若a＞0，且f（x）在x∈[0，2]的最小值为-3，求a的值；
（2）若f（x）＞0的解集为A，B={x|1＜x＜3}，若A∩B=?，求实数a的取值范围．

解：（1）f（x）=a $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ -2a，
1°0≤ $\text{[math]}$ ≤2即a≥2时，f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）=-2a- $\text{[math]}$ =-3，
从而2a+ $\text{[math]}$ -3=0，
∴2a²-3a+1=0，
∴a= $\text{[math]}$ 或a=1（舍），
∴a= $\text{[math]}$ ．
2°若 $\text{[math]}$ ＞2即0＜a＜ $\text{[math]}$ 时f（x）_min=f（2）=4a-4-2a=-3，
∴2a=1，a= $\text{[math]}$ （舍），
∴a= $\text{[math]}$ …6分
（2）据题意有f（x）≤0在x∈（1，3）上恒成立?ax²-2x-2a≤0，x∈（1，3）恒成立，
1°a＞0时? $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ?-2≤a≤ $\text{[math]}$ ．
2°a＜0时，f（x）=a $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ -2a在x∈（1，3）上单调递减，
∴f（x）＜f（1）≤0，
∴-2≤a＜0．
综上a∈[-2，0）∪（0， $\text{[math]}$ ]…12分
分析：（1）将二次函数f（x）=ax²-2x-2a配方转化为f（x）=a $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ -2a，对其对称轴x= $\text{[math]}$ 与区间[0，2]的位置关系分类讨论即可；
（2）将“f（x）＞0的解集为A，B={x|1＜x＜3}，若A∩B=?，”转化为f（x）≤0在x∈（1，3）上恒成立来解决，再对a分a＞0与a＜0分类讨论即可．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查分类讨论思想与转化思想的运用，特别是将（2）转化为f（x）≤0在x∈（1，3）上恒成立来解决是难点，属于难题．