Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AA₁=2，M是AB₁上的动点，且AM=λAB₁，N是CC₁的中点．
（Ⅰ）若λ=

1

2

，求证：MN⊥AA₁；
（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的大小为arcsin

3 14

，试求λ的值．

Answer 1

分析：（I）结合几何体中的线面关系证明线面垂直即AA₁⊥面ABC，进而可得AA₁⊥CE，又MN∥CE，所以可得答案．
（II）建立坐标系求出平面的法向量与直线所在的向量，利用向量的基本运算，求出两个向量的夹角再结合线面角的范围求出线面角即可．

解答：解（Ⅰ）证明：取AB中点E，连接ME，CE，则有ME与NC平行且相等．
∴四边形MNCE为平行四边形，MN∥CE
∵AA₁⊥面ABC，CE?面ABC
∴AA₁⊥CE，∴MN⊥AA₁．
（Ⅱ）以AB，AA₁为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系如B(1， 0， 0)， N(

1

2

，

3

2

， 1)，B1(1， 0， 2)，M(λ， 0， 2λ)

MN

=(

1

2

-λ，

3

2

， 1-2λ)，  

AB

=(1， 0， 0)， 

AN

=(

1

2

，

3

2

，1)
设

n1

=(x，y，z)是平面ABN的一个法向量，则

n1 • AB =0 n1 • AN =0

∴

x=0 1 2 x+ 3 2 y+z=0

x=0 z=- 3 2 y

，令y=1∴

n1

=(0，1，-

3

2

)
设MN与面ABN所成角为θ
则sinθ=|cos＜

MN

，

n1

＞|=

3 2 + 3 2 (2λ-1)

( 1 2 -λ)2+ 3 4 +(1-2λ)2 1+ 3 4

=

3 14

λ

5λ2-5λ+2 • 7 2

=

1

14

，
化简得3λ²+5λ-2=0，λ=-2或λ=

1

3

由题意知λ＞0，∴λ=

1

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，便于判断线面的位置关系以及建立坐标系通过向量法解决空间角、空间距离问题．