Question

【题目】如图，己知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.

（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；

（2）若，且，求实数的值；

（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（2）见解析．

【解析】

（1）由圆的方程求出点坐标，得双曲线的，再计算出后可得渐近线方程；

（2）设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可得，

，由先求出，回代后求得坐标，计算；

（3）由已知得，设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可解得，，求出，从而可得，由，可知满足要求的点不存在．

（1）由题意圆方程为，令得，∴，即，∴，，∴渐近线方程为．

（2）由（1）圆方程为，，

设，由得，(*)，

，，

，

所以，即，解得，

方程(*)为，即，，代入双曲线方程得，∵在第一、四象限，∴，，

∴．

（3）由题意，，，，，

设

由得：，，

由得，解得，，

，

所以，

，

，当且仅当三点共线时，等号成立，

∴轴上不存在点，使得．