题目内容
已知函数f（x）是R上的奇函数，且单调递减，解关于x的不等式f（tx2-1）+f（t）＜0，其中t∈R且t≠1．
分析：先根据f（x）是R上的奇函数把不等式转化为f（tx2-1）＜-f（t）=f（-t）；再结合其单调性得到tx2＞1-t；最后再通过对t的各种取值分类讨论即可求出原不等式的解集．
解答：解：因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（tx2-1）+f（t）＜0可化为f（tx2-1）＜-f（t）=f（-t）．
又f（x）单调递减，且t≠1，所以tx2-1＞-t，即tx2＞1-t．…．（4分）
①当t＞1时，x2＞
，而
＜0，所以x∈∅；…（6分）
②当0＜t＜1时，1-t＞0，解得x＞
或x＜-
；…..（8分）
③当t≤0时，tx2≤0，而1-t＞0，所以x∈∅．…．（10分）
综上，当t≤0或t＞1时，不等式无解；
当0＜t＜1时，不等式的解集为{x|x＞
或x＜-
}．…（12分）
所以f（tx2-1）+f（t）＜0可化为f（tx2-1）＜-f（t）=f（-t）．
又f（x）单调递减，且t≠1，所以tx2-1＞-t，即tx2＞1-t．…．（4分）
①当t＞1时，x2＞
| 1-t |
| t |
| 1-t |
| t |
②当0＜t＜1时，1-t＞0，解得x＞
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③当t≤0时，tx2≤0，而1-t＞0，所以x∈∅．…．（10分）
综上，当t≤0或t＞1时，不等式无解；
当0＜t＜1时，不等式的解集为{x|x＞
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点评：本题主要考查函数奇偶性以及单调性的综合应用．在解决这一类型题目时，一般是先根据奇偶性把不等式转化，再利用单调性来解不等式．
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