Question

在△ABC中，已知cos2(

π

2

+A)+cosA=

5

4

且b+c=

3

a，求cos

B-C

2

的值．

Answer 1

分析：把已知条件利用诱导公式及同角平方关系化简可求得cosA=

1

2

，结合0°＜A＜180°，从而可得A=60°，B+C=120°，
由b+c=

3

a，结合正弦定理转化为sinB+sinC=

3

2

?（sin(120°-B)+sinC=

3

2

，整理可得cos(60°-C)=

3

2

，而

B-C

2

=

120°-C-C

2

=60°-C，从而可求

解答：解：由cos2(

π

2

+A)+cosA=

5

4

得(cosA-

1

2

)2=0（2分）
则cosA=

1

2

，∴A=60°，B+C=120°（4分）．
又由b+c=

3

a得sinB+sinC=

3

2

（6分），
sinB+sinC=sin（120°-C）+sinC=

3

2

cosC+

3

2

sinC=

3

cos（60°-C）（8分）
∴

3

cos(60°-C)=

3

2

，则cos(60°-C)=

3

2

，（10分）
于是B+C=120°，

B-C

2

=60°-C，即cos

B-C

2

=

3

2

（12分）

点评：本题主要考查了同角平方关系、诱导公式、正弦定理、和差角公式的综合运用，但都是基本知识的运用，要求考生熟练掌握公式，并能熟练把这些公式综合在一起，同时还要具备基本的运算推理能力．