题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，且经过点 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k₁，k₂满足k₁+k₂=m（定值m≠0），求直线l的斜率．

解：（1）∵椭圆离心率为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （2分）
又椭圆经过点 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
解得c=1，∴ $\text{[math]}$ （3分）
∴椭圆C的方程是 $\text{[math]}$ …（4分）
（2）若直线l斜率不存在，显然k₁+k₂=0不合题意 …（5分）
设直线方程为l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立方程组 $\text{[math]}$ 得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0…（7分）
∴ $\text{[math]}$ …（8分）
∴k₁+k₂= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =k（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$
∵k₁+k₂=m，∴- $\text{[math]}$ =m，
∴k= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ，可求几何量，从而可得椭圆的方程；
（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及k₁+k₂=m（定值m≠0），即可求直线l的斜率．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．