Question

17．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），F₁、F₂是其左右焦点，其椭圆的长轴长等于短轴长的2倍，且经过点（2，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）P是椭圆上一点，且∠F₁PF₂=90°，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆方程为x²+4y²-4b²=0，代入点的坐标求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出P的横坐标，利用椭圆焦半径公式可得|PF₁|=$2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$，|PF₂|=$2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$，由勾股定理求出P的横坐标，代入椭圆方程可得P的坐标．

解答 解：（1）由题意可知a=2b，则椭圆方程为x²+4y²-4b²=0，
把（2，1）代入可得：2²+4×1²-4b²=0，即b²=2．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，得a²=8，b²=2，
∴c²=a²-b²=6，则a=$2\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$，$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设P的横坐标为x₀，则|PF₁|=$2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$，|PF₂|=$2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$，
∵∠F₁PF₂=90°，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}$，即$（2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}）^{2}+（2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}）^{2}=4×6$，
解得${{x}_{0}}^{2}=\frac{16}{3}$，${x}_{0}=±\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，可得y=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴P点的坐标为P（$\frac{4\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$）、P（$\frac{4\sqrt{3}}{3}，-\frac{\sqrt{6}}{3}$）、P（$-\frac{4\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$）、P（$-\frac{4\sqrt{3}}{3}，-\frac{\sqrt{6}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了焦半径公式的应用，考查计算能力，是中档题．