Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线l：x＝2的距离是到点F(1,0)的距离的倍．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线FP与(1)中曲线交于点Q，与l交于点A，分别过点P和Q作l的垂线，垂足为M，N，问：是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）x²＋2y²＝2（2）存在点P为(0，±1)

(1)设点P的坐标为(x，y)．
由题意知＝|2－x|，化简，得x²＋2y²＝2，所以动点P的轨迹方程为x²＋2y²＝2.
(2)设直线FP的方程为x＝ty＋1，点P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，因为△AQN∽△APM，所以有PM＝3QN，由已知得PF＝3QF，所以有y₁＝－3y₂，①
由得(t²＋2)y²＋2ty－1＝0，Δ＝4t²＋4(t²＋2)＝8>0
y₁＋y₂＝－②，y₁·y₂＝－③，由①②③得t＝－1，y₁＝1，y₂＝－或t＝1，y₁＝－1，y₂＝，所以存在点P为(0，±1)．