Question

【题目】已知函数.

（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求，的值；

（2）当时，在区间上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)m=2，n=﹣1；(2).

【解析】分析：（1）求出函数的导数，结合切点坐标求出，的值即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出m的范围即可.

详解：（1）∵f′（x）=﹣+n，

故f′（0）=n﹣m，即n﹣m=﹣3，

又∵f（0）=m，故切点坐标是（0，m），

∵切点在直线y=﹣3x+2上，

故m=2，n=﹣1；

（2）∵f（x）=+x，∴f′（x）=，

当m≤0时，f′（x）＞0，

故函数f（x）在（﹣∞，1）递增，

令x0=a＜0，此时f（x）＜0，符合题意，

当m＞0时，即0＜m＜e时，则函数f（x）在（﹣∞，lnm）递减，在（lnm，+∞）递增，

①当lnm＜1即0＜m＜e时，则函数f（x）在（﹣∞，lnm）递减，在（lnm，1]递增，

f（x）min=f（lnm）=lnm+1＜0，解得：0＜m＜，

②当lnm＞1即m≥e时，函数f（x）在区间（﹣∞，1）递减，

则函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的最小值是f（1）=+1＜0，解得：m＜﹣e，无解，

综上，m＜，即m的范围是（﹣∞，）．