Question

已知负数a₁和正数b₁，且对任意的正整数n，当≥0时，有[a_n+1，b_n+1]=[a_n，]；当＜0时，有[a_n+1，b_n+1]=[，b_n]．
（1）求证数列{b_n-a_n}是等比数列；
（2）若a₁=-1，b₁=2，求证a_2n=-2b_2n（n∈N^*）；
（3）是否存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证数列{b_n-a_n}是等比数列，只需证明由已知≥0，可得b_n+1-a_n+1=-a_n=；＜0，b_n+1-a_n+1=b_n-=，总有b_n+1-a_n+1=（b_n-a_n），从而可得数列{b_n-a_n}是等比数列
（2）利用数学归纳法：①由a₁=-1，b₁=2，可得，故有，则有，a₂=a₁=-1，从而a₂=-2b₂，可得n=1时，a_2n=-2b_2n成立．
②假设当n=k时，a_2n=-2b_2n成立，即a_2k=-2b_2k，证明n=k+1时命题成立
（3）假设存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列，结合（1）可得b_n-a_n=（b₁-a₁）（）^n-1，由假设可得a_n=a₁，
故b_n=a₁+（b₁-a₁）（）^n-1由a_n+1=a_n恒成立，可知≥0，即a₁+（b₁-a₁）（）ⁿ≥0恒成立，
即2ⁿ≤?n≤对任意的正整数n恒成立，求解此时的n的值是否存在
解答：解：（1）当≥0时，b_n+1-a_n+1=-a_n=；
当＜0，b_n+1-a_n+1=b_n-=．
所以，总有b_n+1-a_n+1=（b_n-a_n），
又b₁＞0，a₁＜0，可得b₁-a₁＞0，
所以数列{b_n-a_n}是等比数列．（4分）
（2）①由a₁=-1，b₁=2，可得，
故有，
∴，a₂=a₁=-1，从而a₂=-2b₂，
故当n=1时，a_2n=-2b_2n成立．（6分）
②假设当n=k时，a_2n=-2b_2n成立，即a_2k=-2b_2k，
由b_2k-a_2k=3b_2k＞0，可得b_2k＞0，，
故有，
∴，（9分）
，
故有
∴，，
故a_2（k+1）=-2b_2（k+1）
∴当n=k+1时，a_2n=-2b_2n成立．
综合①②可得对一切正整数n，都有a_2n=-2b_2n．（12分）
（3）假设存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列，
由（1）可得b_n-a_n=（b₁-a₁）（）^n-1，又a_n=a₁，
故b_n=a₁+（b₁-a₁）（）^n-1，（14分）
由a_n+1=a_n恒成立，可知≥0，即a₁+（b₁-a₁）（）ⁿ≥0恒成立，
即2ⁿ≤对任意的正整数n恒成立，（16分）
又是正数，
故n≤对任意的正整数n恒成立，
因为是常数，
故n≤不可能对任意正整数n恒成立．
故不存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列．（18分）
点评：（1）要证明数列{a_n}是等比数列，利用定义法只需证明
（2）利用数学归纳法证明与数列有关的命题是数列部分难度较大的试题，需要考试有一定的逻辑推理能力．