Question

（本小题满分14分）已知函数对于任意都有且当时，有。
（1）  判断的奇偶性与单调性，并证明你的结论；
（2）  设不等式对于一切恒成立，求整数的最小值。

Answer 1

解：（1）令，得，解得
令得，
所以，是奇函数。                              ………………………3分
设，则，由条件得，
因此，
所以，在上为减函数。                ………………………6分
（2）由，得，因此，，所以原不等式可化为；
①当时，由数学归纳法可证得
下面用数学归纳法证明。（）
ⅰ。当时，左边==右边，等式成立。
ⅱ。假设时等式成立，即。
当时，

这说明当时等式也成立。
根据ⅰ、ⅱ可知，对任意，均有成立。
②当时，式显示成立；
③当时，由奇函数性质可证明式也成立；
所以，有，
由单调性得，对于恒成立。………………10分
解法一：由恒成立，令。
由基本不等式可得，因此，
又由，得。                                  ………………14分
解法二：设，
对于恒成立。
①若，此时无解；
②若。
③若。
综上可得：又，所以。              ………………14分
解法三:由已知易得，令，得，因此，即，又由于可取到，所以。                            ………………14分

略