Question

17.如图，在六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2.

（Ⅰ）求证：A₁C₁与AC共面，B₁D₁与BD共面；

（Ⅱ）求证：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；

（Ⅲ）求二面角A－BB₁－C的大小（用反三角函数值圾示）.

Answer 1

本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力。

解法1（向量法）：

以D为原点，以DA，DC,DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz如图，则有

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A₁(1,0,2),B₁(1,1,2),C₁(0,1,2),D₁(0,0,2).

（Ⅰ）证明：∵,,

,,

∴=2,=2

∴与平行，与平行，

于是A₁C₁与AC共面，B₁D₁与BD共面。

（Ⅱ）证明：,

,

∴,.

DD₁与DB是平面B₁BDD₁内的两条相交直线.

∴AC⊥平面B₁BDD₁.

又平面A₁ACC₁过AC,

∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁.

（Ⅲ）解：,,.

设n(x₁,y₁,z₁)为平面A₁ABB₁的法向量，

，，

于是y₁=0,取z₁=1,则x₁=2, =(2,0,1).

设m=(x₂,y₂,z₂)为平面B₁BCC₁的法向量，

，，

于是x₂=0,取z₂=1,则y₂=2, =(0,2,1).

.

∴二面角A-BB₁-C的大小为。

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：∵D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁, D₁D⊥平面ABCD,

∴D₁D⊥DA, D₁D⊥DC, 平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD.

于是C₁D₁∥CD,D₁A₁∥DA.

设E、F分别为DA,DC的中点，连结EF,A₁E,C₁F,

有A₁E∥D₁D,C₁F∥D₁D,DE=1,DF=1.

∴A₁E∥C₁F,

于是A₁C₁∥EF.

由DE=DF=1,得EF∥AC,

故A₁C₁∥AC,

A₁C₁与AC共面。

过点B₁作B₁O⊥平面ABCD于点O，则B₁O A₁E, B₁OC₁F,连结OE,OF,

于是OEB₁A₁,OFB₁C₁,∴OE=OF.

∵B₁A₁⊥A₁D₁,∴OE⊥AD.

∵B₁C₁⊥C₁D₁,∴OF⊥AD.

所以点O在BD上，故D₁B与DB共面。

（Ⅱ）证明：∵D₁D⊥平面ABCD,∴D₁D⊥AC,

又BD⊥AC(正方形的对角线互相垂直)，

D₁D与BD是平面B₁BDD₁内的两条相交直线，

∴AC⊥平面B₁BDD₁,

又平面A₁ACC₁过AC，∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁.

（Ⅲ）解：∵直线DB是直线B₁B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB,

根据三垂线定理，有AC⊥B₁B.

过点A在平面ABB₁A₁内作AM⊥B₁B于M, 连结MC,MO,

则B₁B⊥平面AMC,

于是B₁B⊥MC,B₁B⊥MO,

所以，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一个平面角。

根据勾股定理，有

.

∵OM⊥B₁B,有

,,,,

,

，

二面角A-BB₁-C的大小为。