Question

若直线l：ax+by=1（a＞0，b＞0）过点A（b，a），则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积取最小值时直线l的方程为    ．

Answer 1

【答案】分析：把点A的坐标代入直线方程求得ab=，要使圆的面积取最小，只要r²=OA²=a²+b² 最小．利用基本不等式求得r² 最小时的a、b的值，即可得到圆的面积取最小值时直线l的方程．
解答：解：∵直线l：ax+by=1（a＞0，b＞0）过点A（b，a），∴ab+ba=1，即ab=．
由于半径OA=r，要使OA长为半径的圆的面积取最小，只要r²=OA²=a²+b² 最小．
由基本不等式可得 a²+b²≥2ab=1，当且仅当a=b=时，取等号，故r²的最小值为1，
故以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积取最小值时直线l的方程为 x+y=1，
即 ，
故答案为 ．
点评：本题主要考查基本不扥等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．