Question

2．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，k），$\overrightarrow{c}$=（-2cosx，sinx-k）；
（1）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$），求f（x）的最小正周期及方程f（x）=$\frac{1}{2}$的解集；
（2）若g（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$，求当k为何值时，g（x）的最小值为$-\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的坐标加法运算求得$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$的坐标，代入f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）后整理，则正确可求，再由f（x）=$\frac{1}{2}$求得满足条件的x的集合；
（2）利用平面向量的坐标加法运算求得$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，代入g（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$，整理后令t=sinx-cosx换元，化为关于t的函数，然后分类讨论求解使g（x）的最小值为$-\frac{3}{2}$的k值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{b}$=（sinx，k），$\overrightarrow{c}$=（-2cosx，sinx-k），
∴$\overrightarrow b+\overrightarrow c=（sinx-2cosx，\;\;sinx）$，又$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），
∴$f（x）=\overrightarrow a•（\overrightarrow b+\overrightarrow c）=sinx（sinx-2cosx）+cosxsinx$
=sin²x-sinxcosx=$\frac{1-cos2x}{2}-\frac{1}{2}sin2x$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}（sin2x+cos2x）$=$\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$．
∴$T=\frac{2π}{2}=π$；
由$f（x）=\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，
∴$sin（2x+\frac{π}{4}）=0$，
∴$2x+\frac{π}{4}=kπ$，则$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}\;\;\;\;\;\;（k∈Z）$，
∴方程$f（x）=\frac{1}{2}$的解集为{x|$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}，k∈Z$}；
（2）$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（2sinx，cosx+k）$，
$g（x）=（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•\overrightarrow c=-4sinxcosx+（cosx+k）（sinx-k）$=-3sinxcosx+k（sinx-cosx）-k²，
令$t=sinx-cosx=\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）$，
则$t∈[-\sqrt{2}，\;\sqrt{2}]$，且t²=sin²x+cos²x-2sinxcosx=1-2sinxcosx，
∴$sinxcosx=\frac{{1-{t^2}}}{2}$，
∴$g（x）=h（t）=-3•\frac{1-{t}^{2}}{2}+kt-{k}^{2}$=$\frac{3}{2}{t^2}+kt-{k^2}-\frac{3}{2}，\;\;\;\;t∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
对称轴为：$t=-\frac{k}{{2×\frac{3}{2}}}=-\frac{k}{3}$，
①当$-\frac{k}{3}＜-\sqrt{2}$，即$k＞3\sqrt{2}$时，
$g{（x）_{min}}=h（-\sqrt{2}）=\frac{3}{2}×{（-\sqrt{2}）^2}+k（-\sqrt{2}）-{k^2}-\frac{3}{2}$=$-{k^2}-\sqrt{2}k+\frac{3}{2}$，
由$-{k^2}-\sqrt{2}k+\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$，得${k^2}+\sqrt{2}k-3=0$，∴$k=\frac{{-\sqrt{2}±\sqrt{14}}}{2}$，
∵$k＞3\sqrt{2}$，∴此时无解；
②当$-\sqrt{2}≤-\frac{k}{3}≤\sqrt{2}$，即$-3\sqrt{2}≤k≤3\sqrt{2}$时，
$g{（x）_{min}}=h（-\frac{k}{3}）=\frac{3}{2}×{（-\frac{k}{3}）^2}+k（-\frac{k}{3}）-{k^2}-\frac{3}{2}$=$-\frac{7}{6}{k^2}-\frac{3}{2}$，
由$-\frac{7}{6}{k^2}-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$，得k=0∈$[-3\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$；
③当$-\frac{k}{3}＞\sqrt{2}$，即$k＜-3\sqrt{2}$时，
$g{（x）_{min}}=h（\sqrt{2}）=\frac{3}{2}×{（\sqrt{2}）^2}+k（\sqrt{2}）-{k^2}-\frac{3}{2}$=$-{k^2}+\sqrt{2}k+\frac{3}{2}$，
由$-{k^2}+\sqrt{2}k+\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$，得${k^2}-\sqrt{2}k-3=0$，∴$k=\frac{{\sqrt{2}±\sqrt{14}}}{2}$，
∵$k＜-3\sqrt{2}$，∴此时无解．
综上所述得：当k=0时，g（x）的最小值为$-\frac{3}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，考查三角函数的图象和性质，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．