题目内容
19．已知双曲线$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，点A满足$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AF}=0$，则点A到原点的最近距离为（ ）| A． | 1 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |
分析 设F'为双曲线的右焦点，PF的中点为M，由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2$\sqrt{3}$，再由中位线定理可得|OM|=$\frac{1}{2}$|PF'|，求得A的轨迹：A在以PF为直径的圆上，当O，A，M共线时，可得OA取得最小值，计算即可得到所求最小值．
解答 解：设F'为双曲线的右焦点，PF的中点为M，由双曲线的定义可得
|PF|-|PF'|=2a=2$\sqrt{3}$，
由OM为三角形PFF'的中位线，可得|OM|=$\frac{1}{2}$|PF'|，
又点A满足$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AF}=0$，可得A在以PF为直径的圆上，
当O，A，M共线时，可得OA取得最小值，且为|OA|=r-|OM|=$\frac{1}{2}$|PF|-|OM|=$\frac{1}{2}$|PF|-$\frac{1}{2}$|PF'|=$\sqrt{3}$．
故选：C．
点评 本题考查两点的距离的最小值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的性质，及三点共线取得最小值，考查运算能力，属于中档题．
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7．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1的一条渐近线为y=-2x，且一个焦点与抛物线y=$\frac{1}{4}$x2的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）
| A． | $\frac{5}{4}$x2-5y2=1 | B． | 5y2-$\frac{5}{4}$x2=1 | C． | 5x2-$\frac{5}{4}$y2=1 | D． | $\frac{5}{4}$y2-5x2=1 |
11．若双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1（m＞0）的离心率为2，则双曲线N：x2-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的渐近线方程为（ ）
| A． | y=±$\sqrt{2}$x | B． | y=±2x | C． | y=±$\sqrt{3}$x | D． | y=±2$\sqrt{2}$x |
8．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|≤2$，则$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影的取值范围是（ ）
| A． | $[{\frac{1}{2}，2}]$ | B． | $（{\frac{1}{2}，2}）$ | C． | $[{\frac{1}{2}，1}]$ | D． | $（{\frac{1}{2}，1}）$ |