Question

圆柱内有一个内接三棱柱，三棱柱的底面在圆柱的底面内，且底面是正三角形，已知圆柱的底面直径与母线长相等，如果圆柱的体积为V
（1）求三棱柱的体积；
（2）求三棱柱的表面积．

Answer 1

设圆柱的高为h，则底面半径为

h

2

，
∴π（

h

2

）²?h=V，∴h=

3	4V π

，
由于圆柱内有一个内接三棱柱，三棱柱的底面在圆柱的底面内，且底面是正三角形，
∴三棱柱的底面边长为

3

r=

3

2

h
故三棱柱的体积V=

1

2

×

3

2

?(

3

2

h)2×h=

3 3 V

4π

表面积S=2×

1

2

×

3

2

?(

3

2

h)2+3×

3

2

h?h=

15 3

8

h2=

3 3

π

(2V2π) 

1

3

故（1）三棱柱的体积为

3 3 V

4π

；
（2）三棱柱的表面积为

3 3

π

(2V2π) 

1

3

．