Question

设偶函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，且f（1）=0则不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0的解集为

 

．

Answer 1

分析：画出函数f（x）的单调性示意图，由不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0可得

2f(x)

x

＞0，即x和f（x）同号，结合函数的图象可得不等式的解集．

解答：解：由题意可得f（-1）=0，
且函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
画出函数f（x）的单调性示意图，如图所示：
由不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0可得

2f(x)

x

＞0，
故当x＞0时，f（x）＞0； 当x＜0时，f（x）＜0，
即x和f（x）同号．
结合函数的图象可得不等式的解集为（-∞，-1）∪（0，1），
故答案为：（-∞，-1）∪（0，1）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．