Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

25

+

y2

b2

=1（0＜b＜5）的两个焦点，P是椭圆上一点，若∠F₁PF₂=60⁰，△F₁PF₂的面积为3

3

，则此椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：由椭圆的标准方程求得a，由△F₁PF₂的面积为3

3

，求得|PF₁|•|PF₂|的值，△F₁PF₂中，由余弦定理、
椭圆的定义可得b²的值，进而求得c，由e=

c

a

 求出离心率e 的值．

解答：解：∵F₁，F₂是椭圆

x2

25

+

y2

b2

=1（0＜b＜5）的两个焦点，∴a=5，c=

25-b2

．
∵△F₁PF₂的面积为3

3

=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin60°，∴|PF₁|•|PF₂|=12．
△F₁PF₂中，由余弦定理可得 4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos60°，
即 4（25-b²）=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁|•|PF₂|=4a²-36=64，
∴b²=9，c=4，故离心率为 e=

c

a

=

4

5

，
故答案为：

4

5

．

点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出b²的值是解题的关键．