Question

18．若一元二次不等式x²-$\frac{2}{\sqrt{a}}$x+1-$\frac{1}{b}$＞0（b＞a）的解集为{x|x≠$\frac{1}{\sqrt{a}}$}，则$\frac{4}{a-1}$+$\frac{16}{b-1}$的最小值为（　　）

• A． 16
• B． 25
• C． 36
• D． 49

Answer 1

分析 根据已知可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=1，b＞a＞0，即ab=a+b，则$\frac{4}{a-1}$+$\frac{16}{b-1}$=$\frac{16a+4b-20}{ab-（a+b）+1}$=16a+4b-20=（16a+4b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）-20=$\frac{4b}{a}+\frac{16a}{b}$，结合基本不等式可得答案．

解答 解：∵一元二次不等式x²-$\frac{2}{\sqrt{a}}$x+1-$\frac{1}{b}$＞0（b＞a）的解集为{x|x≠$\frac{1}{\sqrt{a}}$}，
∴$△=\frac{4}{a}-4+\frac{4}{b}=0$，
即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=1，b＞a＞0，
即ab=a+b，
故$\frac{4}{a-1}$+$\frac{16}{b-1}$=$\frac{16a+4b-20}{ab-（a+b）+1}$=16a+4b-20=（16a+4b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）-20=$\frac{4b}{a}+\frac{16a}{b}$≥2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{16a}{b}}$=16，
故$\frac{4}{a-1}$+$\frac{16}{b-1}$的最小值为16，
故选：A

点评 本题考查的知识点是基本不等式，二次不等式，是不等式的综合应用．