Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，求异面直线NE与AM所成角的余弦值？在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：建立空间如图所示的坐标系，求得 、 的坐标，可得cos＜＞的值，再取绝对值，即为异面直线NE与AM所成角的余弦值．
假设在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN，求得 =（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ）．由ES⊥平面AMN可得，解得λ 的值，
可得 的坐标以及||的值，从而得出结论．
解答：解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DM所在的直线为z轴，
建立空间坐标系．
则有题意可得 D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、M（0，0，1）、
N（1，1，1）、E（，1，0）．∴=（-，0，-1），=（-1，0，1），
cos＜＞==-，故异面直线NE与AM所成角的余弦值为 ．
假设在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN，∵=（0，1，1），
可设=λ•=（0，λ，λ）．
又=（，-1，0），=+=（，λ-1，λ），
由ES⊥平面AMN可得 ，即 ，解得λ=．
此时，=（0，，），||=，故当||= 时，ES⊥平面AMN．
点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用坐标法求异面直线所成的角，用坐标法证明两条直线互相垂直，体现了转化的数学思想，属于中档题．