题目内容
已知函数f（x）=x-alnx+
在x=1处取得极值．
（I）求a与b满足的关系式；
（II）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．
| b |
| x |
（I）求a与b满足的关系式；
（II）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．
（Ⅰ）f′（x）=1-
-
，
∵函数f（x）=x-alnx+
在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，∴1-a-b=0，即b=1-a．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）可得f′（x）=1-
-
=
=
．
令f′（x）=0，则x1=1，x2=a-1．
①当a＞2时，x2＞x1，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1，a-1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）．
②当a=2时，f′（x）≥0，且只有x=1时为0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当a＜2时，x2＜x1，当x∈（0，1-a）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1-a，1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1-a），（1，+∞）；单调递减区间为（a-1，1）．
| a |
| x |
| b |
| x2 |
∵函数f（x）=x-alnx+
| b |
| x |
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）可得f′（x）=1-
| a |
| x |
| 1-a |
| x2 |
| x2-ax-(1-a) |
| x2 |
| (x-1)[x-(a-1)] |
| x2 |
令f′（x）=0，则x1=1，x2=a-1．
①当a＞2时，x2＞x1，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1，a-1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）．
②当a=2时，f′（x）≥0，且只有x=1时为0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当a＜2时，x2＜x1，当x∈（0，1-a）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1-a，1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1-a），（1，+∞）；单调递减区间为（a-1，1）．
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| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
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| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
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|