Question

已知：a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π),求证：a+b与a-b互相垂直.

Answer 1

证法1：∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),

∴(a+b)=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),

(a-b)=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).

又（a+b)·(a-b）

=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+

(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)

=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β=0,

∴(a+b)⊥(a-b).

证法2：∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),

∴|a|²=cos²α+sin²α=1,

|b|²=cos²β+sin²β=1.

∴|a|²=|b|².

∴(a+b)(a-b)=a²-b²=|a|²-|b|²=0,

∴(a+b)⊥(a-b).