题目内容
已知向量
=(cosα，1)，
=(-2，sinα)，α∈(π，
)，且
⊥
．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）求tan2α的值．
| a |
| b |
| 3π |
| 2 |
| a |
| b |
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）求tan2α的值．
分析：（Ⅰ）由 两个向量垂直的性质建立方程可求得cosα=
sinα，再由同角三角函数的基本关系及角α的范围求出sinα=-
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-
，利用同角三角函数的基本关系求出cosα=-
，进而求得tanα的值，再由二倍角公式求出tan2α的值．
| 1 |
| 2 |
2
| ||
| 5 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
解答：解：（Ⅰ）由向量
=(cosα，1)，
=(-2，sinα)，且
⊥
．
可得
•
=（cosα，1）•（-2，sinα）=0．
即-2cosα+sinα=0． 所以cosα=
sinα．（3分）
因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α=
．
因为α∈(π，
)，所以sinα=-
．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-
．
再由 sinα=-
，则得 tanα=2．（8分）
故 tan2α=
=
=-
．（13分）
| a |
| b |
| a |
| b |
可得
| a |
| b |
即-2cosα+sinα=0． 所以cosα=
| 1 |
| 2 |
因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α=
| 4 |
| 5 |
因为α∈(π，
| 3π |
| 2 |
2
| ||
| 5 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-
| ||
| 5 |
再由 sinα=-
2
| ||
| 5 |
故 tan2α=
| 2tanα |
| 1-tan2α |
| 4 |
| -3 |
| 4 |
| 3 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系和二倍角公式的应用，属于中档题．
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