Question

在周长为定值的中，已知，动点的运动轨迹为曲线G,且当动点运动时，有最小值．

（1）以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，求曲线G的方程．

（2）过点（m,0）作圆x²＋y²＝1的切线l交曲线G于M，N两点．将线段MN的长|MN|表示为m的函数，并求|MN|的最大值．

Answer 1

解：（1）设  （）为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距．                                              （2分）

因为

又 ，所以 ，由题意得 ．

所以C点轨迹G 的方程为                           （6分）

（2） ．由题意知，|m|≥1．

当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点M，N的坐标分别为，，此时|MN|＝．

当m＝－1时，同理可知|MN|＝．                                     （7分）

当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k（x－m），

由得（1＋4k²）x²－8k²mx＋4k²m²－4＝0．                    （8分）

设M，N两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），

则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

又由l与圆x²＋y²＝1相切，得＝1，即m²k²＝k²＋1，

所以|MN|＝＝

＝ ＝．                     （12分）

由于当m＝±1时，|MN|＝．

所以|MN|＝，m∈（－∞，－1 ]∪[1，＋∞）．

因为|MN|＝＝≤2，且当m＝±时，|MN|＝2．

所以|MN|的最大值为2．                                            （14分）