Question

在周长为定值的中，已知，且当顶点位于定点时，有最小值为.(1)建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.(2)过点作直线与(1)中的曲线交于、两点，求的最小值的集合.

Answer 1

的最小值的集合为空集.

解析:

(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.

 因为

又 ，所以 ，由题意得 .

此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).所以C点的轨迹方程为  

(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).当直线MN的倾斜角不为90⁰时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得

显然有 △≥0， 所以

而由椭圆第二定义可得

只要考虑 的最小值，即考虑取最小值，显然.

当k=0时，取最小值16.

当直线MN的倾斜角为90⁰时，x₁=x₂=-3,得

但 ，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集.