Question

7．在△ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，且|$\overrightarrow{AO}$|=2|$\overrightarrow{OC}$|，BO∩CP=R，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AR}$；
（2）若H在BC上，且RH⊥BC，设|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，θ=＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，若θ=[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，求$\frac{|\overrightarrow{CH}|}{|\overrightarrow{CB}|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）看出P，R，C三点共线，从而有$\overrightarrow{PR}=λ\overrightarrow{PC}$，这样便得到$\overrightarrow{AR}=（1-λ）\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{AC}$，而同理由B，R，O三点共线便能得到$\overrightarrow{AR}=（1-μ）\overrightarrow{a}+\frac{2μ}{3}\overrightarrow{b}$．从而由平面向量基本定理便得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-λ}{2}=1-μ}\\{λ=\frac{2μ}{3}}\end{array}\right.$，这样解出λ即可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AR}$；
（2）根据上面可得到$\overrightarrow{RC}=\frac{3}{7}\overrightarrow{b}-\frac{3}{14}\overrightarrow{a}$，可设$\overrightarrow{CH}=k\overrightarrow{CB}$，这样根据条件RH⊥BC即可得到$\overrightarrow{RH}•\overrightarrow{BC}=0$，然后分别用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{RH}，\overrightarrow{BC}$，然后进行数量积的运算，这样便得到$cosθ=\frac{5k-\frac{9}{7}}{4k+\frac{3}{7}}$，从而由θ的范围即可得出k的范围，即得出$\frac{|\overrightarrow{CH}|}{|\overrightarrow{CB}|}$的范围．

解答 解：（1）P，R，C三点共线；
∴存在λ，使$\overrightarrow{PR}=λ\overrightarrow{PC}$；
∴$\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}=λ（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}）$；
∴根据条件，$\overrightarrow{AR}=（1-λ）\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{AC}$=$\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$；
同理由B，R，O三点共线可得，$\overrightarrow{AR}=（1-μ）\overrightarrow{a}+\frac{2μ}{3}\overrightarrow{b}$；
∴根据平面向量基本定理：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-λ}{2}=1-μ}\\{λ=\frac{2μ}{3}}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{4}{7}$；
∴$\overrightarrow{AR}=\frac{3}{14}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}$；
（2）由上面$\overrightarrow{PR}=\frac{4}{7}\overrightarrow{PC}$；
$\overrightarrow{RC}=\frac{3}{7}\overrightarrow{PC}=\frac{3}{7}（\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}）=\frac{3}{7}\overrightarrow{b}-\frac{3}{14}\overrightarrow{a}$；
$\overrightarrow{CH}$，$\overrightarrow{CB}$共线，设$\overrightarrow{CH}=k\overrightarrow{CB}=k\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}$，k＞0；
RH⊥BC；
∴$\overrightarrow{RH}•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{CH}）•\overrightarrow{BC}$=$[（\frac{3}{7}-k）\overrightarrow{b}+（k-\frac{3}{14}）\overrightarrow{a}]•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）=0$；
∴$-5k+\frac{9}{7}+（2k+\frac{3}{14}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
∴$-5k+\frac{9}{7}+2（2k+\frac{3}{14}）cosθ=0$；
∴$cosθ=\frac{5k-\frac{9}{7}}{4k+\frac{3}{7}}$；
∵$θ∈[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$；
∴$-\frac{1}{2}≤cosθ≤\frac{1}{2}$；
∴$-\frac{1}{2}≤\frac{5k-\frac{9}{7}}{4k+\frac{3}{7}}≤\frac{1}{2}$；
解得$\frac{15}{98}≤k≤\frac{1}{2}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{CH}|}{|\overrightarrow{CB}|}$的范围为$[\frac{15}{98}，\frac{1}{2}]$．

点评 考查共线向量基本定理，向量减法的几何意义，向量的加法、减法和数乘运算，平面向量基本定理，以及向量数量积的计算公式．